Az ELTE Természettudományi Karának vegyész szakára járt, de 1947-ben egy feljelentés nyomán internálták, majd 1950-ben a recski munkatáborba került. 1953-as szabadulása után csak segédmunkásként dolgozhatott, tanulmányait 1956 után folytathatta, diplomájának megszerzése után az iparban, vegyészmérnökként dolgozott. 1964-ben felvették a Színház- és Filmművészeti Főiskola rendezői szakára, ahol a nála alig két évvel idősebb Herskó János osztályába járt, diplomájának kézhez vétele után a Mafilm rendezője lett. A sokoldalú Böszörményi 1964-ben zeneszerzője volt az 58 másodperc című rövidfilmnek, főiskolásként több filmben szerepelt, így az Apa, a Szevasz, Vera és a nagysikerű Ismeri a szandi mandit? című alkotásokban - e felesége, Gyarmathy Lívia által rendezett filmszatírának a forgatókönyvírója is volt.

Rendezőként 1970-ben Illetlen fotók címmel készítette első dokumentumfilmjét egy fotószakkör működéséről, ezt pornográfia vádjával azonnal betiltották. A következő évben készült el első játékfilmje, a Madárkák, a két falusi lány pesti beilleszkedési próbálkozásait feldolgozó szatirikus alkotás már nagy sikert aratott, Böszörményi megkapta a magyar filmkritikusok díját a legjobb elsőfilmes rendezésért. Böszörményi állandó alkotótársa felesége volt, a házaspár groteszk látásmódjával a hagyományoktól eltérő filmhumor megteremtésére tett kísérletet.

Böszörményi 1974-ben Autó címmel tragikomikus filmet forgatott, 1981-ben pedig a Szívzűr című groteszk vígjátékot, amely egy frissen végzett orvos vidéki beilleszkedéseit mutatta be. Az alkotás, amelyben játszott Jirí Menzel, a világhírű cseh rendező is, 1982-ben a magyar játékfilmszemle és a magyar filmkritikusok díját is megkapta. 1984-ben a több generáció együttélését boncolgató Egy kicsit én, egy kicsit te című vígjáték forgatókönyvírója volt. Két évvel később készített Laura (a címszerepben Básti Julival) első magyar játékfilmként idézte fel az ötvenes évek internálótáborait.

Böszörményi Géza feleségével több dokumentumfilmet is készített. A legemlékezetesebb a részben saját élményeit is feldolgozó háromrészes Recsk 1950-53 - Egy titkos kényszermunkatábor története, amelyben volt rabok és ÁVH-s őrök vallomásaiból rajzolódik ki az 1950-es évek törvénytelenségeinek egyik fejezete. Az alkotást a magyar filmszemlén a dokumentumfilm kategóriában a társadalmi zsűri fődíjával tüntették ki, megkapta a Színház- és Filmművészeti Főiskola hallgatóinak díját, 1989-ben az év legjobb európai dokumentumfilmjének járó Félix-díjat is elnyerte. A házaspár 1991-ben együtt készítette a "...hol zsarnokság van..." című dokumentumfilmet is, amelyben egy bíró emlékezik vissza az ötvenes évek igazságszolgáltatására.

Böszörményi az 1990-es években több játékfilm forgatókönyvét jegyezte. Ezek közül A csalás gyönyöre az érzelmi elbizonytalanodásról szól, a magyar-olasz koprodukcióban forgatott Vörös Colibri - amelyet lánya, Böszörményi Zsuzsa rendezett - a rendszerváltás utáni Magyarország látlelete, s több nemzetközi fesztiválon aratott sikert. A Recsknek emléket állító, Gyarmati Lívia által rendezett Szökésért Böszörményit 1997-ben a magyar filmszemle forgatókönyvírói díjával tüntették ki. Utolsó munkáját halála előtt egy évvel fejezte be, a lánya által rendezett Mélyen őrzött titkok című filmdráma forgatókönyvét jegyezte. Böszörményi Géza 2004. augusztus 21-én hunyt el Budapesten.

Művészi pályafutásának elismeréseként 1986-ban Balázs Béla-díjat kapott, 1990-ben érdemes művész lett és Nagy Imre-díjat kapott, 1991-ben a Magyar Művészetért díjban részesült, 1992-ben megkapta a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztjét. 1999-ben a magyar filmszemle életműdíjával, 2000-ben Gyarmathy Líviával együtt megosztott Kossuth-díjjal tüntették ki "nemzetközileg is elismert játék- és dokumentumfilm rendezői, valamint forgatókönyvírói munkásságukért". 2001-ben megkapta a Magyar Örökség-díjat, mellyel igazságfeltáró filmművészetét ismerték el, 2004-ben az elsők között tüntették ki az újonnan alapított Magyar Mozgókép Mestere díjjal.