Budapesten született 1934-ben. Pályáját néptáncosként kezdte, 1951-től három évig a SZOT együttesének szólótáncosa volt. 1954-ben vették fel a Színház- és Filmművészeti Főiskolára, diplomáját 1958-ban kapta meg. Első szerződése a József Attila Színházhoz kötötte, az angyalföldi társulathoz több mint húsz évig hű maradt. 1982-ben a Vidám Színpadhoz került, ahol volt színész, művészeti igazgató, igazgató-rendező, 1996 és 2002 között pedig a Vidám Színpad Kht. ügyvezető igazgatója, 2002-ben a Vidám Színpad örökös tagjává választották. 2003-ban Jordán Tamás igazgató meghívására a Nemzeti Színházhoz szerződött, amelynek azóta is tagja. 1975 óta tanít a Színház- és Filmművészeti Főiskolán (2000 óta Egyetemen).

A pályakezdő Bodrogi Gyula elsősorban kortárs és klasszikus darabok karakterszerepeit játszotta, de hamarosan felfedezték komikusi tehetségét is, ettől kezdve ő lett az úgynevezett könnyű műfaj egyik legjellegzetesebb képviselője. Muzikalitását, kiváló tánctudását zenés-táncos darabokban kamatoztathatta. Emlékezetes alakításai: Napóleon (Sardou A szókimondó asszonyság című darabjában), Böffen Tóbiás (Shakespeare Vízkeresztjében), a francia király (Kacsóh Pongrác János vitézében), Peacock (Brecht Koldusoperájában), Bálint (A Hubay-Vas-Ránki szerzőtrió Egy szerelem három éjszakájában), Seress Rezső (Müller Péter Szomorú vasárnapjában), Julien, a fogorvos (Barillet-Grédy A kaktusz virágában). Mint rendező is szívesebben nyúlt a habkönnyű, elsősorban zenés darabokhoz.

Könnyed természetességének és elmélyült jellemábrázolásának köszönhetően filmszínészként is hamar a közönség kedvence lett. Első filmjét, a Külvárosi legendát Máriássy Félix rendezte 1957-ben, ezután szinte évente forgatott. Emlékezetes filmje volt a Házasságból elégséges (ebben akkori felesége, Törőcsik Mari volt partnere), a Hattyúdal, a Húsz óra, a Tanulmány a nőkről, a Fuss, hogy utolérjenek, a Szépek és bolondok, a Hogyan felejtsük el életünk legnagyobb szerelmét?. A Szerencsés Dánielben megtört családapát alakított, ő volt az Idő van mogorva üdülőgondnoka, a Titánia, Titánia, avagy a dublőrök éjszakájában négyes főszerepben brillírozott, elnyerve a legjobb férfialakítás díját a svájci Vevey-ben 1989-ben, majd 1991-ben a bulgáriai Gabrovóban. A 2000-es években is több moziban szerepelt, így például A mohácsi vész, az Üvegtigris és Magyar vándor című filmekben.

Legnépszerűbb szerepei a televízióhoz kötődnek. Az ő rekedtes hangján szólalt meg Süsü, a jószívű egyfejű sárkány, a Kérem a következőt Csőrmestere és a Vuk kárörvendő varjúja. A Linda című nagy sikerű sorozatban ő alakította a címszereplő édesapját, a mai napig kedvelt szereplője a különféle showműsoroknak és kabaréknak.

Bodrogi Gyuláról köztudott, hogy szenvedélyes vadász. Hobbijáról 1993-ban A vadász néha főz is címmel könyvet jelentetett meg, amelyben legkedvesebb vadásztörténeteit és receptjeit adta közre. 2009-ben jelent meg Irka-firka című kötete, amelyben naplórészletek, rádióműsorokba szánt írások, aforizmák idézik fel a művész tizenhét főiskolai fegyelmijének történetét, színházi emlékeit, emlékezetes tanárait és pályatársait.

Művészi munkájáért számos rangos elismerést kapott: 1962-ben és 1967-ben Jászai Mari-díjat, 1973-ban érdemes művész, 1983-ban kiváló művész címet. 1995-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend Tisztikeresztjével, 2005-ben Kossuth-díjjal tüntették ki, 2007 óta a Nemzet Színésze kitüntető cím birtokosa. 2009-ben a XIII. kerület díszpolgárává választották, a nyíregyházi Vidor Fesztiválon Életmű-díjjal jutalmazták. 2012-ben a Prima-díjat és a Prima Primissima Közönségdíját vehette át, 2013-ban Szenes Iván Életműdíjat kapott.

Bodrogi Gyula ma is aktív, a Nemzeti Színházban a Johanna a máglyán című darabban Lisztes molnárt, Shakespeare Ahogy tetszik című vígjátékában Ádámot alakítja.