Kavelasvili a „szovjet” korszak legerősebb és legismertebb grúz klubjában, a Dinamo Tbilisziben kezdett futballozni, de 23 évesen, 1944-ben légiósnak állt, s külföldön játszott a következő bő tíz évben. Először orosz csapathoz ment, az akkor az ország legjobbjai közé tartozó Alanyija Vlagyikavkazban játszott az 1994–1995-ös idényben. A korábban Grúziában nyert bajnoki aranyat mellé nyert egyet Oroszországban is.

1996 elején megvette a Manchester City, amelyben hamar megszerettette magát a szurkolókkal, miután gólt lőtt a United elleni városi rangadón. Ám a csapat játékereje nem volt a mostani érában szereplőjéhez hasonlítható, Kavelasvili a második idényét a Championshipben, a második osztályban töltötte. Szívesen maradt volna Angliában, de miután nem kapott újra munkavállalási engedélyt, kénytelen volt költözni.

A következő állomáshelye Svájc lett, ahol előbb kölcsönjátékosként a Grasshoppersben futballozott (59 bajnokin 20 gólt szerzett!), majd az FC Zürichben, a Luzernben, a Sionban és az Aarauban is megfordult. A GC-vel megnyerte a svájci bajnokságot.

Az Aarau rövid időre kölcsönadta az Alanyijának, de mindössze hét mérkőzés után visszatért Svájcba, az FC Basel csatárjaként zárta le profi karrierjét.

Nem ez az első eset, hogy Georgiában (Grúziában) korábbi válogatott futballista, aki hosszú éveket külföldön töltött, politikai pályafutásba kezdjen. A nemzetközi klubfutball egyik legsikeresebb grúz játékosa, az AC Milannal két Bajnokok Ligáját is nyerő Kaha Kaladze 2017 óta a főváros polgármestere, második terminusa 2025-ben jár majd le.

Az MTI beszámolója szerint Grúziában most először nem közvetlenül, hanem egy 300 elektorból álló kollégium révén választották meg az államfőt. A választási bizottság közlése szerint az elnökválasztáson 225 elektor vett részt, egy szavazólapot töröltek, így 224-en szavaztak az egyetlen jelöltre, Miheil Kavelasvilire. A választási törvény szerint, ha nem kapta volna meg az elektorok szavazatainak kétharmadát, akkor néhány órával később megtartották volna a szavazás második fordulóját, ahol elég lett volna megszereznie az egyszerű többséget. Az ellenzék illegitimnek minősítette a szombati választást, és jelezte, hogy a hivatalban lévő elnököt, Szalome Zurabisvilit tartja továbbra az ország egyetlen legitim vezetőjének.