Természetes volt a számára, hogy futballista lesz, édesapja, Fülöp Ferenc 1977 és 1986 között az MTK-VM színeiben 197 mérkőzésen játszott az élvonalban, az 1978-as Mundial előtt tagja volt Baróti Lajos bő keretének is - olvasható a Magyar Labdarúgó Szövetség honlapján.

Marci a BVSC csapatában nevelkedett, kilencévesen lett igazolt játékos. Zuglóból 1995-ben átkerült az MTK-hoz, 2004-ig a kék-fehérek korosztályos csapataiban, illetve a BKV Előrében és az agárdi Sándor Károly Akadémiával együttműködő BFC Siófokban védett.

2004 nyarán London egyik legtekintélyesebb klubja, a Tottenham Hotspur vásárolta meg, az akkori első számú angol kapus, Paul Robinson mellé. 2007-ig volt a Spurs tagja, az első csapatban nem kapott játéklehetőséget, ellenben sokszor ő volt hol Robinson, hol a cseh Radek Èerny mögött a második számú kapus.

Klubja többször is kölcsönadta, így került a Chesterfieldhez, a Coventry Cityhez, majd a Sunderlandhez. Utóbbi 2007-ben meg is vásárolta, új fejezet kezdődött Fülöp pályafutásában.

Egyetlen más külföldi klubban sem védett annyi bajnoki mérkőzésen, mint a Sunderlandnél. E klubból is többször kölcsönbe került, védett a Leicester Cityben, segítette rövid ideig a Stoke Cityt, majd 2010-ben három mérkőzésen őrizte a Manchester City kapuját is. A 2010-2011-es idényt az Ipswich Townban töltötte, majd a következőben a West Bromwich Albion keretéhez tartozott.

2012-ben Görögországba igazolt, az Aszterasz Tripolisz szerezte meg. Nagy része volt abban, hogy a kék-sárga alakulat addigi története legjobb helyezését elérve, a negyedik helyen végzett a bajnokságban, s bejutott a Görög Kupa döntőjébe, ahol csak a korszak kiemelkedően legerősebb ottani csapata, az Olympiakosz állította meg. A 2012-2013-as idény volt Fülöp Márton legsikeresebb klubszezonja.

Miután a 2004-2005-ös idényben ő volt az utánpótlás-válogatott első számú kapusa, 2005. május 31-én, a franciák elleni metzi találkozón Lothar Matthäusnál az A-válogatottban is bemutatkozhatott. Pályafutása során összesen 24-szer védett a nemzeti tizenegyben, a német kapitány után Bozsik Péter, Várhidi Péter, Erwin Koeman és Egervári Sándor is beválogatta. Huszonnégy mérkőzéséből kilencen nem kapott gólt a magyar válogatott. Címeres mezben a 2011. március 29-i, hollandok elleni találkozó volt számára az utolsó.

Halálával pótolhatatlan veszteség érte a hazai labdarúgást. A Magyar Labdarúgó Szövetség a magyar labdarúgó társadalom nevében mély együttérzését fejezi ki a gyászoló családnak.